Question

如图所示，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连

如图所示，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线。（1）求抛物线的解析式；（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的解析式； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C， ∴∠OCA+∠OCB=90°， 又∵∠OCB+∠OBC=90°， ∴∠OCA=∠OBC， 又∵∠AOC= ∠COB=90°， ∴ΔAOC∽ ΔCOB， ∴ ， 又∵A（-1，0），B（9，0）， ∴ ， 解得OC=3（负值舍去）， ∴C（0，-3）， 设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-9）， ∴-3=a（0+1）（0-9）， 解得a= ， ∴二次函数的解析式为y= （x+1）（x-9），即y= x 2 - x-3； （2）∵AB为O′的直径，且A（-1，0），B（9，0）， ∴OO′=4，O′（4，0），  ∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D， ∴∠BCD= ∠BCE= ×90°=45°， 连结O′D交BC于点M，则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D= AB=5， ∴D（4，-5）， ∴设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0） ∴   解得 ∴直线BD的解析式为y=x-9； （3）假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD， 设射线DP交⊙O′于点Q，则 ， 分两种情况（如答案图1所示）： ①∵O′（4，0），D（4，-5），B（9，0），C（0，-3）， ∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q 1 重合， 因此，点Q 1 （7，-4）符合 ， ∵D（4，-5），Q 1 （7，-4）， ∴用待定系数法可求出直线DQ 1 解析式为y= x- ， 解方程组 得 ∴点P 1 坐标为（ ）， [坐标为（ ）不符合题意，舍去]， ②∵Q 1 （7，-4）， ∴点Q 1 关于x轴对称的点的坐标为Q 2 （7，4）也符合 ， ∵D（4，-5），Q 2 （7，4）， ∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x-17， 解方程组 得 ∴点P 2 坐标为（14，25）， [坐标为（3，-8）不符合题意，舍去]， ∴符合条件的点P有两个：P 1 （ ），P 2 （14，25）。