Question

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（- 3 ，0），且过D（2，0

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（- 3 ，0），且过D（2，0），设点A（1， 1 2 ）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程．

Answer 1

（1）∵在平面直角坐标系中的一个椭圆， 它的中心在原点，左焦点为F（- 3 ，0），且过D（2，0）， ∴椭圆的半长轴a=2，半焦距c= 3 ，则半短轴b=1． ∵椭圆的焦点在x轴上， ∴椭圆的标准方程为 x 2 4 + y 2 =1 ． （2）椭圆 x 2 4 + y 2 =1 的参数方程是： x=2cosα y=sinα ，α为参数． ∴P（2cosα，sinα）， 设线段PA的中点为M（x，y）， ∵A（1， 1 2 ），P（2cosα，sinα）， ∴x= 1+cosα 2 ， y= 1 2 +sinα 2 ， ∴cosα=2x-1， sinα=2y- 1 2 ， ∴（2x-1） 2 +（2y- 1 2 ） 2 =1． ∴线段PA中点M的轨迹方程是（2x-1） 2 +（2y- 1 2 ） 2 =1．