Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC．（1）求

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC．（1）求证：CO平分∠ACB（2）若AC=2，BC=4，求OC的长．

Answer 1

（1）证明：过点O作OM垂直于CA于点N，作ON垂直于CB于点N，
∴∠OMC=∠ONC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四边形MCNO是矩形，
∴∠MON=90°，
∵正方形 ABDE对角线交于点O，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠MON-∠AON=∠AOB-∠AON，
∴∠AOM=∠NOB，
∵∠OMA=∠ONB=90°，
在△AOM和△BON中，

∠AOM＝∠BON ∠OMA＝∠ONB＝90° OA＝OB

，
∴△AOM≌△BON（AAS），
∴OM=ON，
∴CO平分∠ACB                                   

（2）解：∵△AOM≌△BON，
∴AM=BN，
∵AC=2，BC=4
∴CN=

AC+BC

2

=3，
∵∠OCN=45°，
∴ON=CN=3，
由勾股定理得OC=3

2

．