Question

如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动

如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s，Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们的运动时间为x（s）．①求x为何值时，PQ⊥AC？②当0＜x＜2时，AD是否能平分△PQD的面积？若能，请说明理由；③探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应的位置关系的x的取值范围（不要求写过程）

Answer 1

（1）

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5

，
当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC，
当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x；
∵AB=BC=CA=4，
∴∠C=60°；
若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，
∴PC=2CQ，
∴4-x=2×2x，
∴x=

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；

（2）当0＜x＜2时，在Rt△QPC中，QC=2x，∠C=60°；
作QN⊥BC于N
∴NC=x，
∴BP=NC=x，
∴BD=CD，
∴DP=DN；
∵AD⊥BC，QP⊥BC，
∴AD∥QP，
∴OP=OQ，
∴S_△PDO=S_△DQO，
∴AD平分△PQD的面积；

（3）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离，
当x=

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或

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时，以PQ为直径的圆与AC相切，
当0≤x＜

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或

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＜x＜

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或

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＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．