Question

已知函数f（x）=（x-1）2-aln|x-1|（a∈R，a≠0）．（Ⅰ）当a=8时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函

已知函数f（x）=（x-1）2-aln|x-1|（a∈R，a≠0）．（Ⅰ）当a=8时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[e+1，e2+1]上的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）
（1）当x＞1时，f（x）=（x-1）²-8ln（x-1），f′(x)＝2(x?1)?

8

x?1

＝

2(x?1)2?8

x?1

．
由f'（x）＞0得2（x-1）²-8＞0，解得x＞3或x＜-1．
注意到x＞1，所以函数f（x）的单调递增区间是（3，+∞）．
由f'（x）＜0得2（x-1）²-8＜0，解得-1＜x＜3，
注意到x＞1，所以函数f（x）的单调递减区间是（1，3）．
（2）当x＜1时，f（x）=（x-1）²-8ln（1-x），
f′(x)＝2(x?1)+

8

1?x

＝

?2(x?1)2+8

1?x

，
由f'（x）＞0得2（x-1）²-8＜0，解得-1＜x＜3，
注意到x＜1，所以函数f（x）的单调递增区间是（-1，1）．
由f'（x）＜0得2（x-1）²-8＞0，解得x＞3或x＜-1，
由x＜1，所以函数f（x）的单调递减区间是（-∞，-1）．
综上所述，函数f（x）的单调递增区间是（-1，1），（3，+∞）；
单调递减区间是（-∞，-1），（1，3）．（5分）

（Ⅱ）当x∈[e+1，e²+1]时，f（x）=（x-1）²-aln（x-1），
所以f′(x)＝2(x?1)?

a

x?1

＝

2(x?1)2?a

x?1

＝

2x2?4x+2?a

x?1

，
设g（x）=2x²-4x+2-a．
（1）当a＜0时，有△＜0，此时g（x）＞0，所以f'（x）＞0，f（x）在[e+1，e²+1]上单调递增．
所以f（x）_min=f（e+1）=e²-a
（2）当a＞0时，△=16-4×2（2-a）=8a＞0．
令f'（x）＞0，即2x²-4x+2-a＞0，解得x＞1+

2a

2

或x＜1?

2a

2

（舍）；
令f'（x）＜0，即2x²-4x+2-a＜0，解得1?

2a

2

＜x＜1+

2a

2

．
①若1+

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