Question

设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（-x）+f（x）=x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）

设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（-x）+f（x）=x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2-a）-f（a）≥2-2a，则实数a的取值范围为（　　）A．[1，+∞）B．（-∞，1]C．（-∞，2]D．[2，+∞）

Answer 1

∵f（-x）+f（x）=x²，∴f（x）-

1

2

x² +f（-x）+

1

2

x² =0，
令g（x）=f（x）-

1

2

x²，∵g（-x）+g（x）=f（-x）-

1

2

x²+f（x）-

1

2

x²=0，
∴函数g（x）为奇函数．
∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）-x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，
故函数g（x）在（-∞，0）上也是增函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．
f（2-a）-f（a）≥2-2a，等价于f（2-a）-

(2?a)2

2

≥f（a）-

a2

2

，
即g（2-a）≥g（a），∴2-a≥a，解得a≤1，
故选：B．

Answer 2

f(x)=x+1/2x² f(x)+f(-x)=x²
f'(x)=1+x>x (0<x<正无穷）
f(2-a)-f(a)>=2-2a
(2-a）+1/2(2-a)²
-(a+1/2a²)>=2-2a
a<=1