Question

已知函数f（x）=1+lnxx．（1）若函数f（x）在区间（a，a+13）（a＞0）上存在极值点，求实数a的取值范围；

已知函数f（x）=1+lnxx．（1）若函数f（x）在区间（a，a+13）（a＞0）上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）当x≥1时，不等式f（x）≥kx+1恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）定义域为（0，+∞），f′(x)＝

1 x ?x?(1+lnx)?1

x2

＝?

lnx

x2

，
由f′（x）=0?x=1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，
则f（x）在（0，1）上单增，在（1，+∞）上单减，
所以函数f（x）在x=1处取得唯一的极值．
由题意得

a＞0 a＜1＜a+ 1 3

?

2

3

＜a＜1，故所求实数a的取值范围为(

2

3

，1)
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥

k

x+1

?

1+lnx

x

≥

k

x+1

?k≤

(x+1)(1+lnx)

x

．
令g(x)＝

(x+1)(1+lnx)

x

，(x≥1)，由题意，k≤g（x）在[1，+∞）恒成立．g′(x)＝

[(x+1)(1+lnx)]′?x?(x+1)(1+lnx)?x′

x2

＝

x?lnx

x2

令h（x）=x-lnx（x≥1），则h′(x)＝1?

1

x

≥0，当且仅当x=1时取等号．
所以h（x）=x-lnx在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=1＞0
因此g′(x)＝

x?lnx

x2

＝

h(x)

x2

＞0，则g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）_min=g（1）=2
所以k≤2，即实数k的取值范围为（-∞，2]．