（2012?广东模拟）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证
（2012?广东模拟）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；（Ⅱ）求二面角D-CB...
（2012?广东模拟）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；（Ⅱ）求二面角D-CB1-B的平面角的正切值．
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解答：
解：（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC-A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∵AC2+BC2=AB2
∴AC⊥BC，
又 AC⊥C1C，且BC∩C1C=C
∴AC⊥平面BCC1，又BC1?平面BCC1
∴AC⊥BC1
（II）以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系
∵AC=3，BC=4，AA1=4，
∴A（3，0，0），B（0，4，0）C（0，0，0），D(
，2，0)，
B1（0，4，4），
∴
=(
，2，0)，
=(0，4，4)
平面CBB1C1的法向量
=(1，0，0)，
设平面DB1C的法向量
=(x0，y0，z0)，
则
，
的夹角（或其补角）的大小就是二面角D-CB1-B的大小
则由
?
令x0=4，则y0=-3，z0=3
∴
=(4，-3，3)…（10分）
cos＜
，
＞=
=
，则tan＜
，
＞=
∵二面角D-B1C-B是锐二面角
∴二面角D-B1C-B的正切值为
解：（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC-A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∵AC2+BC2=AB2
∴AC⊥BC，
又 AC⊥C1C，且BC∩C1C=C
∴AC⊥平面BCC1，又BC1?平面BCC1
∴AC⊥BC1
（II）以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系
∵AC=3，BC=4，AA1=4，
∴A（3，0，0），B（0，4，0）C（0，0，0），D(
| 3 |
| 2 |
B1（0，4，4），
∴
| CD |
| 3 |
| 2 |
| CB1 |
平面CBB1C1的法向量
| n1 |
设平面DB1C的法向量
| n2 |
则
| n1 |
| n2 |
则由
|
|
∴
| n2 |
cos＜
| n1 |
| n2 |
| ||||
|
|
| 4 | ||
|
| n1 |
| n2 |
3
| ||
| 4 |
∵二面角D-B1C-B是锐二面角
∴二面角D-B1C-B的正切值为
3
|
