Question

已知函数f（x）=ax2+bx+1在x=3处的切线方程为y=5x-8．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（

已知函数f（x）=ax2+bx+1在x=3处的切线方程为y=5x-8．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）=kex恰有两个不同的实根，求实数k的值；（3）数列{an}满足2a1=f（2），an+1＝f(an)，n∈N*，求S＝1a1+1a2+1a3+…+1a2013的整数部分．

Answer 1

（1）由f（x）=a x²+bx+1，所以f^′（x）=2ax+b，
因为函数f（x）=a x²+bx+1在x=3处的切线方程为y=5x-8，所以切点为（3，7）．
则

f′(3)＝6a+b＝5 f(3)＝9a+3b+1＝7

，解得：a=1，b=-1．
所以f（x）=x²-x+1；
（2）由（1）知f（x）=x²-x+1，
关于x的方程f（x）=ke^x恰有两个不同的实根，
即x²-x+1=k?e^x有两个不同的实根，也就是k=e^-x（x²-x+1）有两个不同的实根．
令g（x）=e^-x（x²-x+1），
则g^′（x）=（2x-1）e^-x-（x²-x+1）e^-x
=-（x²-3x+2）e^-x=-（x-1）（x-2）e^-x
由g^′（x）=0，得x₁=1，x₂=2．
所以当x∈（-∞，1）时，g^′（x）＜0，g（x）在（-∞，1）上为减函数；
当x∈（1，2）时，g^′（x）＞0，g（x）在（1，2）上为增函数；
当x∈（2，+∞）时，g^′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）上为减函数；
所以，当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=

1

e

，当x=2时函数取得极大值g（2）=

3

e2

．
函数y=k与y=g（x）的图象的大致形状如下，

由图象可知，当k=

1

e

和k＝

3

e2

时，关于x的方程f（x）=ke^x恰有两个不同的实根；
（3）由2a₁=f（2）=2²-2+1=3，所以a1＝

3

2

＞1，a2＝a12?a1+1=(

3

2

)2?

3

2

+1＝

7

4

．
又an+1?an＝an2?2an+1＝(an?1)2＞0，
所以a_n+1＞a_n＞1．
又an+1＝f(an)＝an2?an+1，所以a_n+1-1=a_n（a_n-1），
则

1

an+1?1

＝

1

an?1

?

1

an

，即

1

an

＝

1

an?1

?

1

an+1?1

．
所以S＝

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2013

=(

1

a1?1

?

1

a2?1

)+(

1

a2?1

?

1

a3?1

)+…+(

1

a2012?1

?

1

a2013?1

)
=

1

a1?1

?

1

a2013?1

=

1

3 2 ?1

?

1

a2013?1

=2?

1

a2013?1

＜2．
又S=

1

a1

+

1

a2

＝

1

3 2

+

1

7 4

＝

2

3

+

4

7

＝

25

21

＞1．
故S＝

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2013

的整数部分等于1．