Question

幂级数收敛半径，具体步骤

Answer 1

　　定义幂级数 f为：。其中常数 a是收敛圆盘的中心，cn为第 n个复系数，z为变量。
　　收敛半径r是一个非负的实数或无穷大（），使得在 | z -a| < r时幂级数收敛，在 | z -a| > r时幂级数发散。
　　具体来说，当 z和 a足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。在 |z- a| = r的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：对某些 z可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数 z都收敛，那么说收敛半径是无穷大。
　　根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R满足：如果幂级数满足，则：
　　ρ是正实数时，1/ρ。
　　ρ = 0时，+∞。
　　ρ =+∞时，R= 0。
　　根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式：
　　或者。复分析中的收敛半径
　　将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。收敛半径可以被如下定理刻画：
　　一个中心为 a的幂级数 f的收敛半径 R等于 a与离 a最近的使得函数不能用幂级数方式定义的点的距离。
　　到 a的距离严格小于 R的所有点组成的集合称为收敛圆盘。
　　最近点的取法是在整个复平面中，而不仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此。例如：函数
　　没有复根。它在零处的泰勒展开为：
　　运用达朗贝尔审敛法可以得到它的收敛半径为1。与此相应的，函数 f(z) 在 ±i 存在奇点，其与原点0的距离是1。

Answer 2

新年好！春节快乐！
Happy Chinese New Year !
1、级数收敛，就是指 x 在固定的范围内，级数的无穷项幂函数的总和会限制在
一定的范围内，这就是收敛，convergence；
2、本题是两个级数的对应项形成的新的级数，收敛级数是可以找到和函数的，
所以本题的两个级数的收敛，一定是在小的收敛半径内，两个和函数都不会
出现无穷大的现象，加起来也就不会出现无穷大的现象。如果在小的收敛半
径外，大的收敛半径内，则一个发散，趋向于无穷大，一个是有限的数，结
果是发散的。
所以，本题答案是：共同的收敛半径是R1。