Question

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF 交于点O，∠AOF=90°．求证：BE=CF．（2）

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF 交于点O，∠AOF=90°．求证：BE=CF．（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．求GH的长．（3）已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．直接写出下列两题的答案：①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH= _________ ；②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH= _________ （用n的代数式表示）． 图1 图2 图3 图4

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Answer 1

（1）证明：如图1， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°， ∴∠EAB+∠AEB=90°． ∵∠EOB=∠AOF=90°， ∴∠FBC+∠AEB=90°， ∴∠EAB=∠FBC， ∴△ABE △BCF， ∴BE=CF； （2）解：如图2， 过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N， 得FM=GN， 由（1）得，∠HGN=∠EFM， 得△FME △HGN， 得FE=GH=4； （3）①∵是两个正方形， 则GH=2EF=8； ②4n．

图1               图2