Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，3）和B（5，0），连接AB。 （1）现将

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，3）和B（5，0），连接AB。 （1）现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△COD（点A落到点C处），求经过B、C、D三点的抛物线的解析式；（2）将（l）中抛物线向右平移两个单位长度，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与抛物线相交于点F，P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF，当|PE-PF|取得最大值时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使△EPF为直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD， ∴OC=OA，OD=OB， ∵A（0，3），B（5，0）， ∴C（-3，0），D（0，5）， 设过B、C、D的抛物线解析式为y=a（x+3）（x-5）， 把D（0，5）代人得a=- ； ∴ ； （2）由题意可知E点坐标为（7，0），平移前抛物线为 ∴向右平移2个单位长度后的抛物线为 解方程组 得 ∴F（2，5） 作点E关于对称轴x=3的对称点E′，则E′（-1，0）， ∵|PE-PF|=|PE′-PF|≤E′F， ∴直线E′F与对称轴的交点P是所求的点， 设直线E′F的解析式为y=kx+b，则有2k+b=5，-k+b=0 解得k= ，b= ， ∴直线E′F的解析式为y= x+ ， ∴当x=3时，y= ， ∴当|PE-PF|取得最大值时，P点坐标为（3， ）； （3）设P（3，m），由（2）知E（7，0），（2，5）， 则PE 2 =（7-3） 2 +m 2 =m 2 +16， EF′=（7-2） 2 +5 2 =50， PF′=（3-2） 2 +（m-5） 2 =m 2 -10m+26， ①若∠PEF=90°，则PE 2 +EF 2 =PF 2 ， 即m 2 +16+50=m 2 -10m+26， 解得m=-4， ∴P 1 （3，-4）， ②若∠PFE=90°，则PF 2 +EF 2 =PE 2 ， 即m 2 -10m+26+50=m 2 +16， 解得m=6， ∴P 2 （3，6）， ③若∠FPE=90°，则PF 2 +PE 2 =EF 2 即m 2 -10m+26+m 2 +16=50， 解得 ∴ 综上所述，存在点P使△EPF为直角三角形，坐标分别是P 1 （3，-4），P2（3，6）， 。