Question

如图①，AB是半圆O的直径，以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P与点A，O不重合），AP的延长线交

如图①，AB是半圆O的直径，以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P与点A，O不重合），AP的延长线交半圆O于点D，其中OA=4． （1）判断线段AP与PD的大小关系，并说明理由；（2）连接OD，当OD与半圆C相切时，求 的长；（3）过点D作DE⊥AB，垂足为E（如图②），设AP=x，OE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．

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Answer 1

解：（1）AP=PD。理由如下： 如图①，连接OP，OD， ∵OA是半圆C的直径，∴∠APO=90°，即OP⊥AD。 又∵OA=OD，∴AP=PD。 （2）如图①，连接PC、OD. ∵OD是半圆C的切线，∴∠AOD=90°。 由（1）知，AP=PD. 又∵AC=OC，∴PC∥OD。∴∠ACP=∠AOD=90°。 ∵OA=4，∴AC=2。 ∴ 的长= 。 （3）分两种情况： ①当点E落在OA上（即0＜x≤ 时），如图②， 连接OP，则∠APO=∠AED． 又∵∠A=∠A，∴△APO∽△AED。∴ 。 ∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4﹣y，∴ 。 ∴ （0＜x≤ ）. ②当点E落在线段OB上（即 ＜x＜4）时，如图③， 连接OP，同①可得，△APO∽△AED。 ∴ 。 ∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4+y，∴ 。 ∴ （ ＜x＜4）。 综上所述，y与x之间的函数关系式为

试题分析：（1）AP=PD．理由如下：如图①，连接OP．利用圆周角定理知OP⊥AD．然后由等腰三角形“三合一”的性质证得AP=PD。 （2）由三角形中位线的定义证得CP是△AOD的中位线，则PC∥DO，所以根据平行线的性质、切线的性质易求弧AP所对的圆心角∠ACP=90°，从而求出 的长。 （3）分类讨论：点E落在线段OA和线段OB上，这两种情况下的y与x的关系式．这两种情况都是根据相似三角形（△APO∽△AED）的对应边成比例来求y与x之间的函数关系式。