Question

在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别是a，b，c．（1）若c=2， C= π 3 且△ABC的面积等于

在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别是a，b，c．（1）若c=2， C= π 3 且△ABC的面积等于 3 ，求cos（A+B）和a，b的值；（2）若B是钝角，且 cosA= 3 5 ，sinB= 12 13 ，求sinC的值．

Answer 1

解（1）∵A+B+C=π， C= π 3 ，∴A+B=π-C= 2π 3 由此可得： cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC=-cos π 3 =- 1 2 （2分） 根据余弦定理，得c 2 =a 2 +b 2 -2abcosC， ∴a 2 +b 2 -ab=4，（4分） 又∵△ABC的面积等于 3 ，即 1 2 absinC= 3 ， ∴ 1 2 ab× 3 2 = 3 ，解之得ab=4．       （5分） 联立方程组 a 2 + b 2 -ab=4 ab=4 ，解之得a=2，b=2．    （7分） （2）∵B是钝角，且 cosA= 3 5 ＞0，sinB= 12 13 ∴ sinA= 1- cos 2 A = 1- ( 3 5 ) 2 = 4 5 （8分） cosB=- 1- sin 2 B =- 1- ( 12 13 ) 2 =- 5 13 （9分） 因此，sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B） =sinAcosB+cosAsinB= 4 5 ×(- 5 13 )+ 3 5 × 12 13 = 16 65 （12分）