Question

已知直角坐标平面上点A（2，0），P是函数y=x（x＞0）图象上一点，PQ⊥AP交y轴正半轴于点Q（如图）．（1）

已知直角坐标平面上点A（2，0），P是函数y=x（x＞0）图象上一点，PQ⊥AP交y轴正半轴于点Q（如图）．（1）试证明：AP=PQ；（2）设点P的横坐标为a，点Q的纵坐标为b，那么b关于a的函数关系式是______；（3）当S△AOQ＝23S△APQ时，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、T
∵点P在函数y=x（x＞0）的图象上，
∴PH=PT，PH⊥PT．（1分）
∵AP⊥PQ，
∴∠APH=∠QPT．
又∠PHA=∠PTQ，
∴△PHA≌△PTQ，（1分）
∴AP=PQ．         （1分）

（2）根据题意得 AH=2-a=TQ．
∵OQ+TQ=OT=OH，
∴b+2-a=a，
b=2a-2．
故答案为 b=2a-2．（2分）

（3）由（1）、（2）知，
S△AOQ＝

1

2

OA×OQ＝2a?2，S△APQ＝

1

2

AP2＝a2?2a+2，（1分）
∴2a?2＝

2

3

(a2?2a+2)，
解得 a＝

5± 5

2

，（1分）
所以点P的坐标是(

5? 5

2

，

5? 5

2

)或(

5+ 5

2

，

5+ 5

2

)．（1分）