Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=12，Sn=n2an-n（n-1），n=1，2，…（1）证明：数列{n+1nSn}是等差数列，

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=12，Sn=n2an-n（n-1），n=1，2，…（1）证明：数列{n+1nSn}是等差数列，并求Sn；（2）设bn=Snn3+3n2 ，求证：b1+b2+…+bn＜512．

Answer 1

（1）证明：由Sn＝n2an?n(n?1)知，
当n≥2时：Sn＝n2(Sn?Sn?1)?n(n?1)，…（1分）
即(n2?1)Sn?n2Sn?1＝n(n?1)，
∴

n+1

n

Sn?

n

n?1

Sn?1＝1，对n≥2成立．                        …（3分）
又

1+1

1

S₁=1，∴{

n+1

n

Sn}是首项为1，公差为1的等差数列．

n+1

n

Sn＝1+(n?1)?1…（5分）
∴Sn＝

n2

n+1

…（6分）
（2）证明：bn＝

Sn

n3+3n

＝

1

(n+1)(n+3)

＝

1

2

(

1

n+1

?

1

n+3

)…（8分）
∴b1+b2+…+bn＝

1

2

(

1

2

?

1

4

+

1

3

?

1

5

+…+

1

n

?

1

n+2

+

1

n+1

?

1

n+3

)
=

1

2

(

5

6

?

1

n+2

?

1

n+3

)＜

5

12

…（12分）