已知函数f（x）=xex．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）过点P（0，4e2）作直线y=f（x）相切，
已知函数f（x）=xex．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）过点P（0，4e2）作直线y=f（x）相切，求证：这样的直线l至少有两条，且这些直线的斜率之和m∈（...
已知函数f（x）=xex．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）过点P（0，4e2）作直线y=f（x）相切，求证：这样的直线l至少有两条，且这些直线的斜率之和m∈（e2?1e2，2e2?1e2）
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解（Ⅰ）由题知f′(x)＝
(x∈R)，
当f'（x）＞0时，x＜1，当f'（x）＜0时，x＞1，
所以函数f（x）的增区间为（-∞，1），减区间为（1，+∞），
其极大值为f(1)＝
，无极小值．
（Ⅱ）设切点为（x0，f（x0）），则所作切线的斜率k＝f′(x0)＝
，
所以直线l的方程为：y?
＝
(x?x0)，
注意到点P(0，
)在l上，所以
?
＝
(?x0)，
整理得：
?
＝0，故此方程解的个数，即为可以做出的切线条数，
令g(x)＝
?
，则g′(x)＝?
，
当g'（x）＞0时，0＜x＜2，当g'（x）＜0时，x＜0或x＞2，
所以，函数g（x）在（-∞，0），（2，+∞）上单调递减，在（0，2）上单调递增，
注意到g(0)＝?
＜0，g(2)＝0，g(?1)＝e?
＞0，
所以方程g（x）=0的解为x=2，或x=t（-1＜t＜0），
即过点P(0，
| 1?x |
| ex |
当f'（x）＞0时，x＜1，当f'（x）＜0时，x＞1，
所以函数f（x）的增区间为（-∞，1），减区间为（1，+∞），
其极大值为f(1)＝
| 1 |
| e |
（Ⅱ）设切点为（x0，f（x0）），则所作切线的斜率k＝f′(x0)＝
| 1?x0 |
| ex0 |
所以直线l的方程为：y?
| x0 |
| ex0 |
| 1?x0 |
| ex0 |
注意到点P(0，
| 4 |
| e2 |
| 4 |
| e2 |
| x0 |
| ex0 |
| 1?x0 |
| ex0 |
整理得：
| x02 |
| ex0 |
| 4 |
| e2 |
令g(x)＝
| x2 |
| ex |
| 4 |
| e2 |
| x(x?2) |
| ex |
当g'（x）＞0时，0＜x＜2，当g'（x）＜0时，x＜0或x＞2，
所以，函数g（x）在（-∞，0），（2，+∞）上单调递减，在（0，2）上单调递增，
注意到g(0)＝?
| 4 |
| e2 |
| 4 |
| e2 |
所以方程g（x）=0的解为x=2，或x=t（-1＜t＜0），
即过点P(0，
