Question

已知点（1，2）是函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）的图象上一点，数列{an}的前n项和是Sn=f（n）-1．（Ⅰ）求

已知点（1，2）是函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）的图象上一点，数列{an}的前n项和是Sn=f（n）-1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=logaan+1，求数列{an?bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（I）把点（1，2）代入函数f（x）=a^x得a=2，
所以数列{a_n}的前n项和为S_n=f（n）-1=2ⁿ-1
当n=1时，a₁=S₁=1
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1
对n=1时也适合∴a_n=2^n-1
（II）由a=2，b_n=log_aa_n+1得b_n=n，
所以a_nb_n=n?2^n-1
T_n=1?2⁰+2?2¹+3?2²+…+n?2^n-1①
2T_n=1?2¹+2?2²+3?2³+…+（n-1）?2^n-1+n?2ⁿ②
由①-②得：-T_n=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-n?2ⁿ
所以T_n=（n-1）2ⁿ+1．