Question

如图，AD是Rt三角形ABC的斜边BC上的高，角ABC的平分线BE交AD于点F，交AC于点E。求证

如图，AD是Rt三角形ABC的斜边BC上的高，角ABC的平分线BE交AD于点F，交AC于点E。求证:AE=AF。

Answer 1

证明：因为 AD是直角三角形ABC斜边上的高，
所以 三角形ABD相似于三角形CBA（直角三角形中斜边上的高把直角三角形分成 的两个三角形都与原直角三角形相似），
所以 角BAD=角C（相似三角形对应角相等），
因为 BE是角ABC的平分线（已知），
所以 角ABF=角EBC（角平分线的定义），
所以 角BAD+角EBF=角C+角EBC（等式的性质），
又因为 角AFE=角BAD+角EBF，角AFE=角C+角EBC
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
所以 角AFE=角AEF（等量代换），
所以 AE=AF（同一三角形中，等角对等边）。
知识点：1. 直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原直角三角形相似。
（俗称母子相似定理）
2. 三角形的外角定理。
3. 等腰三角形的判定（等角对等 边）。
本题延伸：本题条件中若添加“EH垂直于BC于H”则可证明“四边形AFHE是菱形”。

Answer 2

 

Answer 3

 

追问

谢谢