Question

证明:在所有周长一定的四边形中，正方形的面积最大。

Answer 1

很严格的证明一时也想不出，姑且这样证吧: 设四个边按顺时针分别是abcd (1)在等周时面积最大的四边形应有以下性质:a=b,c=d 证:假定面积最大的四边形不满足此条件，即a≠b，c≠d。用一个对角线把这个四边形分成两个三角形，a，b和c，d各在一个三角形中。利用海伦公式和均值不等式很容易证明，如果令a'=b',c'=d',则新的四边形比原有的要大，与假设矛盾。这样就证明了(1) (2)利用(1)，容易证明面积最大的四边形应满足a=b=c=d，或者说这个四边形是一种菱形证明法同1类似 (3)容易证明在满足(2)的菱形中，有一个角是直角时面积最大，因此这个菱形是正方形。综上，周长相等的四边形中，正方形面积最大。