Question

若圆x∧2+y∧2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2跟号2,则直线l的倾斜角的取值范围：

可以把过程写清楚点吗

Answer 1

想把圆的方程转换成标准方程，(x-2)^2+(y-2)^2=18
由标准方程知，圆心为N(2，2)，且原点O在圆内
因为直线为ax+by=0
当a=0或者b=0的时候，即当水平或者竖直的时候，一定符合条件
当a、b都不为0的时候，直线一定过原点
所以直线L一定和圆交于两点，记为A、B
与直线AB平行的直线且相距2根号2的直线与圆的交点即距直线L的距离为2根号2
能画出两条这样的直线
当出现三个交点的时候，是其中一条与直线L相切
当上面的平行线与圆相切，设此切点为P，连接圆心与点P，则线段NP垂直于直线L且与交于点M，所以点P到直线L的距离为线段PM的长，即PM=2根号2，因为半径为3根号2，所以NM为
根号2
由已知得，ON的长度为2根号2，所以角NOM=30度
同理证明切线在下方的时候，也是30度
已知得直线ON的倾斜角为45度
所以取值范围是（45度-30度）到（45度+30度）
即范围是15度到75度 且0度和90度