Question

已知：如图，AF为△ABC的角平分线，以BC为直径的圆与边AB交于点D，点E为弧BD的中点，连接CE交AB于H，AH=A

已知：如图，AF为△ABC的角平分线，以BC为直径的圆与边AB交于点D，点E为弧BD的中点，连接CE交AB于H，AH=AC．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）若AC=6，AB=10，求EC的长．

Answer 1

（1）证明：连接BE ∵BC为直径∴∠E=90°， ∴∠EBH+∠EHB=90°， ∵AH=AC，AF为△ABC的角平分线， ∴∠AHC=∠ACH， ∵∠AHC=∠EHB， ∴∠EHB=∠ACH， ∵点E为弧BD的中点， ∴∠ECB=∠DBE， ∴∠ECB+∠ACH=90°， ∴AC是⊙O的切线； （2）∵AC是⊙O的切线， ∴∠ACB=90°， ∵AC=6，AB=10， ∴BC=8， ∵AH=AC， ∴BH=4， 又∵∠ECB=∠DBE，∠E为公共角， ∴△BEH ∽ △CEB， ∴ BE EC = BH CB = 4 8 = 1 2 ， ∴在Rt△EBC中，可得 E C 2 +( 1 2 EC ) 2 =B C 2 ， ∴EC= 16 5 5 ．