Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA=4OB，AC=2B

如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA=4OB，AC=2BC= 2 5 ．（1）求点A、B、C的坐标；（2）若点C关于原点的对称点为C′，试问在AB的垂直平分线上是否存在一点G，使得△GBC′的周长最小？若存在，求出点G的坐标和最小周长；若不存在，请说明理由．（3）设点P是直线BC上异于点B、点C的一个动点，过点P作x轴的平行线交直线AC于点Q，过点Q作QM垂直于x轴于点M，再过点P作PN垂直于x轴于点N，得到矩形PQMN．则在点P的运动过程中，当矩形PQMN为正方形时，求该正方形的边长．

Answer 1

（1）设OB=k（k＞0），则OA=4k，AB=5k， ∵AC=2BC=2 5 ，∠ACB=90°， ∴（2 5 ） 2 +（ 5 ） 2 =（5k） 2 ， 解得：k=1， ∴OB=1，OA=4， ∴A（-4，0），B（1，0）， ∵OC= CB 2 + OB 2 =2， ∴C（0，-2）； （2）如图1，连接AC′，由几何知识知AC′与AB的垂直平分线l的交点即为△GBC′的周长最小时的点G． 连接GB，BC′， ∵点C′与点C关于原点对称，且C（0，-2）， ∴C′（0，2）， ∵A（-4，0），B（1，0）， ∴直线AC′的解析式为：y= 1 2 x+2， 直线l的解析式为：x=- 3 2 ， ∴点G（- 3 2 ， 5 4 ）， ∵BC′= 1 2 + 2 2 = 5 ，AC′= 4 2 + 2 2 =2 5 ∴△GBC′的最小周长为： GB+GC′+BC′=AC′+BC′=3 5 ； （3）由图易知点P不可能在直线BC的点B右上方． 当点P在线段BC之间时（如图2）， 设正方形PQMN的边长为t． ∵A（-4，0），B（1，0），C（0，-2） ∴直线AC的解析式为：y=- 1 2 x-2， 直线BC的解析式为：y=2x-2， ∴点P（ 2-t 2 ，-t），点Q（2t-4，-t）， ∴点N（ 2-t 2 ，0），点M（2t-4，0）， ∴MN=-2t+4+ 2-t 2 =t，解得t= 10 7 ， 当点P在直线BC的左下方时，同理可得点N（ 2-t 2 ，0），点M（2t-4，0），此时 MN=2t-4- 2-t 2 =t，解得t= 10 3 ． 综上所述，正方形PQMN的边长为 10 7 或 10 3 ．