Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，a 1 =1，a n+1 = 1 3 S n （n∈N * ）．（1）求a 2 ，a 3 ，

已知数列{a n }的前n项和为S n ，a 1 =1，a n+1 = 1 3 S n （n∈N * ）．（1）求a 2 ，a 3 ，a 4 的值；（2）求数列{a n }的通项公式．

Answer 1

（1）∵a n+1 = 1 3 S n ， ∴ a 2 = 1 3 S 1 = 1 3 a 1 = 1 3 ， ∴ a 3 = 1 3 S 2 = 1 3 ( a 1 + a 2 )= 1 3 (1+ 1 3 ) = 4 9 ， ∴ a 4 = 1 3 S 3 = 1 3 ( a 1 + a 2 + a 3 ) = 1 3 (1+ 1 3 + 4 9 ) = 16 27 ； （2）∵a n+1 = 1 3 S n ，∴ a n = 1 3 S n-1 (n≥2) ， 两式相减得： a n+1 - a n = 1 3 ( S n - S n-1 ) = 1 3 a n ， ∴ a n+1 = 4 3 a n (n≥2) ， ∴数列{a n }从第2项起，以后各项成等比数列， a n = 1 3 ×( 4 3 ) n-2 (n≥2) ，  故数列{a n }的通项公式为 a n = 1 3 ×( 4 3 ) n-2 ，(n≥2) 1，(n=1) ．