Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上。 （1）求证：平面AEC⊥平

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上。 （1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当 ，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小。

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Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， ∵PD⊥底面ABCD， ∴PD⊥AC， ∴AC⊥平面PDB， ∴平面AEC⊥平面PDB。 （2）解：设AC∩BD=O，连接OE， 由（1）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，  又O，E分别为DB、PB的中点， ∴OE//PD，且 ， 又∵PD⊥底面ABCD， ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO， 在Rt△AOE中， ， ∴∠AOE=45°， 即AE与平面PDB所成的角的大小为45°。