Question

已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝( ，－1)．(1)若a⊥b，求θ的值；(2)若|2a－b|<m恒

已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝( ，－1)．(1)若a⊥b，求θ的值；(2)若|2a－b|<m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）    （2）(4，＋∞)

解：(1)∵a⊥b，∴ cosθ－sinθ＝0，得tanθ＝ ， 又θ∈[0，π]，∴θ＝ . (2)∵2a－b＝(2cosθ－ ，2sinθ＋1)， ∴|2a－b| 2 ＝(2cosθ－ ) 2 ＋(2sinθ＋1) 2 ＝8＋8( sinθ－ cosθ)＝8＋8sin(θ－ )， 又θ∈[0，π]，∴θ－ ∈[－ ， ]， ∴sin(θ－ )∈[－ ，1]， ∴|2a－b| 2 的最大值为16， ∴|2a－b|的最大值为4， 又|2a－b|<m恒成立，∴m>4. 故m的取值范围为(4，＋∞)．