已知数列{an}满足an+1=(n+2)a2n?nan+n+1a2n+1(n∈N+)，且a1=1（Ⅰ）求a2，a3，a4猜测an并证明；（Ⅱ）若b
已知数列{an}满足an+1=(n+2)a2n?nan+n+1a2n+1(n∈N+)，且a1=1（Ⅰ）求a2，a3，a4猜测an并证明；（Ⅱ）若bn＝2an?1+an-1...
已知数列{an}满足an+1=(n+2)a2n?nan+n+1a2n+1(n∈N+)，且a1=1（Ⅰ）求a2，a3，a4猜测an并证明；（Ⅱ）若bn＝2an?1+an-1且bn的前n项为Sn，试比较Sn与n2+n的大小．
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（I）∵an+1=
(n∈N+)，且a1=1．
∴a2=
=
=2，
a3=
=
=3，
a4＝
=
=4．
猜想an=n．
下面用数学归纳法证明：1）当n=1时，a1=1，命题成立．
2）假设当n=k（n∈N*）时，命题成立．即ak=k．
则当n=k+1时，ak+1=
=
=k+1．
综上由1）2）可得：命题对于?n∈N*都成立．
∴an=n（n∈N*）．
（II）由（I）可知：bn＝2n?1+n?1．
∴Sn＝
+
(n+2
| ||
|
∴a2=
3
| ||
|
| 3×12?1+1+1 |
| 12+1 |
a3=
4
| ||
|
| 4×22?2×2+3 |
| 22+1 |
a4＝
5
| ||
|
| 5×32?3×3+4 |
| 32+1 |
猜想an=n．
下面用数学归纳法证明：1）当n=1时，a1=1，命题成立．
2）假设当n=k（n∈N*）时，命题成立．即ak=k．
则当n=k+1时，ak+1=
(k+2)
| ||
|
| (k+2)?k2?k2+k+1 |
| k2+1 |
综上由1）2）可得：命题对于?n∈N*都成立．
∴an=n（n∈N*）．
（II）由（I）可知：bn＝2n?1+n?1．
∴Sn＝
| 2n?1 |
| 2?1 |
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