Question

已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组（　　）A．α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性无

已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组（　　）A．α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性无关B．α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1线性无关C．α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关D．α1+α2，α2+α3，α3-α4，α4-α1线性无关

Answer 1

①对于选项A：
∵（α₁+α₂）+（α₃+α₄）=（α₂+α₃）+（α₄+α₁），
∴α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₄，α₄+α₁线性相关．
∴选项（A）不正确；
②对于选项B：
∵（α₁-α₂）+（α₂-α₃）=-（α₃-α₄）-（α₄-α₁），
∴α₁-α₂，α₂-α₃，α₃-α₄，α₄-α₁线性相关．
∴选项（B）不正确；
③对于选项D：
∵（α₁+α₂）-（α₂+α₃）=-（α₃-α₄）-（α₄-α₁），
∴α₁+α₂，α₂+α₃，α₃-α₄，α₄-α₁线性相关．
∴选项（D）不正确；
④对于选项C：
令k₁（α₁+α₂）+k₂（α₂+α₃）+k₃（α₃+α₄）+k₄（α₄-α₁）=0
∴（k₁-k₄）α₁+（k₁+k₂）α₂+（k₂+k₃）α₃+（k₃+k₄）α₄=0
∵向量组α₁，α₂，α₃，α₄线性无关
∴

k1?k4＝0 k1+k2＝0 k2+k3＝0 k3+k4＝0

∴k₁=k₂=k₃=k₄=0
∴选项（C）正确
故选：C