Question

抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离

抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离．

Answer 1

设P（x，y，z）为椭圆上的一点，则|OP|=x²+y²+z²．
所求问题为如下的条件极值问题：
目标函数x²+y²+z²，约束条件：z=x²+y²，x+y+z=1．
设F（x，y，z）=x²+y²+z²+λ₁（z-x²-y²）+λ₂（x+y+z-1），
则由方程组

F′x＝2x?2λ1x+λ2＝0 F′′y＝2y?2λ1y+λ2＝0 F′z＝2z?λ1+λ2＝0 F′λ1＝z?x2?y2＝0 F′λ2＝x+y+z?1＝0

可得：x₁=y₁=

?1+ 3

2

，z₁=2?

3

，
x₂=y₂=

?1? 3

2

，z₂=2+

3

．
因为
|OP₁|=

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