Question

已知函数f(x)＝log2(2x+1)．（1）用定义证明：函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增；（2）记f-1（x）为函

已知函数f(x)＝log2(2x+1)．（1）用定义证明：函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增；（2）记f-1（x）为函数f（x）的反函数，求函数m=f-1（x）-f（x）在[1，2]上的值域．

Answer 1

证明：（1）任取x₁＜x₂，则f(x1)?f(x2)＝log2(2x1+1)?log2(2x2+1)＝log2

2x1+1

2x2+1

，
∵x₁＜x₂，∴0＜2x1+1＜2x2+1，
∴0＜

2x1+1

2x2+1

＜1，log2

2x1+1

2x2+1

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），即函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增.5 分
（不用定义证明本小题得0分）
（2）∵f?1(x)＝log2(2x?1) (x＞0)，（3分）
∴m=f^-1（x）-f（x）=log2(2x?1)?log2(2x+1)=log2

2x?1

2x+1

＝log2(1?

2

2x+1

)，（2分）
当1≤x≤2时，

2

5

≤

2

2x+1

≤

2

3

，
∴

1

3

≤1?

2

2x+1

≤

3

5

，
∴m的取值范围是[ log2(

1

3

)，  log2(

3

5

) ]．（3分）