Question

如图所示，AB高h=0.6m，有一个可视为质点的质量为m=1kg的小物块，从光滑平台上的A点以某一初速度v0水平抛

如图所示，AB高h=0.6m，有一个可视为质点的质量为m=1kg的小物块，从光滑平台上的A点以某一初速度v0水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M=3kg的长木板．已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ=0.3，圆弧轨道的半径为R=0.4m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ=60°，不计空气阻力，g取10m/s2．求：（1）求平抛初速度v0（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；（3）要使小物块不滑出长木板，木板的长度L至少多大？

Answer 1

（1）小物块在C点时的速度为
v_C=

v0

cos60°

                                                          
AC过程由动能定理有：

1

2

m

v

2 c

?

1

2

m

v

2 0

＝mgh
联解以上两式得：v₀=2m/s，
（2）小物块由C到D的过程中，由动能定理得
mgR（1-cos 60°）=

1

2

mv

2 D

-

1

2

mv

2 C

                                      
代入数据解得v_D=2 

5

 m/s                                             
小球在D点时由牛顿第二定律得，
F_N-mg=m                                                        
代入数据解得F_N=60 N                                                 
由牛顿第三定律得F_N′=F_N=60 N    方向竖直向下．                     
（3）设小物块刚滑到木板左端时达到共同速度，大小为v，小物块在木板上滑行的过程中，小物块与长木板的加速度大小分别为：
a₁=

μmg

m

=μg=3 m/s²，
a₂=

μmg

M

=1 m/s²                                      
速度分别为：
v=v_D-a₁t                                                            
v=a₂t                                                                
对物块和木板系统，由能量守恒定律得
μmgL=

1

2

mv

2 D

-

1

2

（m+M）v²                                                
解得L=2.5 m，即木板的长度至少是2.5 m．
答：（1）平抛初速度为2m/s；
（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力大小为60 N，方向竖直向下；
（3）要使小物块不滑出长木板，木板的长度L至少为2.5m．