Question

初二数学关于函数的题目

如图，直线y=kx+b与y轴交点的纵坐标为4，且A(-4，8)和点B(2，n)均在此直线上．
（1）求n的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；
（2）平移直线y=kx+b，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，
点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．
① 当直线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，
求此时直线的函数解析式；
② 当直线向左或向右平移时，是否存在某个位置，
使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，
求出此时直线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1):y=-x+4，B点（2，2），n=2。P点：（2，－2）。Q点（0.8，0），Q点就是AP连线与X轴的交点。
(2)，第一小问：我们可以这么认为：AB平移，上一问求得的Q点（AP连线与X轴的交点）也跟着AB的平移而平移。当Q点平移得与C点重合时，此时直线位置即为所求，可知C点和Q点相距0.8－（－2）＝2.8，因此要将直线AB向左平移2.8个单位。所得新的直线为y=-(x+2.8)+4=-x+1.2即为所求。
第二小问：肯定存在， 要让上述周长最小，即为A'D+B'C最小，因为其它两个边长是确定的。B‘C＝P’C（P'为B'关于X轴的对称点），即化为A'D+P'C最小.。再作一步处理：将P'向左平移CD个单位长度到P''（也就是2个单位长度），则P'C=P''D。也就是求A'D+DP‘’的最小值，和第一问情况相同。我们求得，P点向档案库平移两个座标后为（0，－2）其与D点的连线与X轴的交点为（－0.8，0），也就是说与D点相距－0.8－（－4）＝3.2个单位，也就是说要将原直线向左平移3.2个单位，四边形A′B′CD的周长最短。此时直线的解析式为y=-(x+3.2)+4=-x+0.8即为所求。

Answer 2

(1)由直线y=kx+b与y轴交点的纵坐标为4,可以得到点（0，4）位于该直线上。又因为A（-4,8）也在该直线上，所以，两点可以确定一条直线（将两点带入可得）：y= -x+4。所以，当x=2时，y=2，即n=2。所以，可得点B（2,2），所以点B关于x轴的对称点P为（2，-2）。
因为，两点之间，线段最短，且点P为点B的关于x轴的对称点，即只需连结点A与点P，线段AP即AQ+BQ的最短的距离。具体做法是，由点A、点P的坐标求直线AP，其与X轴的交点即为点Q。由点A（-4，8）、点P（2，-2），可得AP：y= -5/3x+4/3。当y=0时，x=4/5。所以，可得点Q（4/5,0）。
（2）①可得，当点C（-2，0）位于平移后的A'B'直线上时，A'C+B'C的距离最短。且平移不改变斜率，所以，表达式为：y=-x-2。
②因为AB与CD的距离是固定的，所以要求四边形的周长最短，即求A'D与B'C的距离和最短。因为平移不改变斜率，所以，设A'(X1,-X1+4),B'(X2,-X2+4).可以得到两个方程:
1、A'D与B'C的距离和：d=根号下（X1+4）²+(-X1+4)² + 根号下(X2+2)²+(-X2+4)²
2、|A'B'|=根号下2(X1-X2)²=|AB|=6√2
然后可以求得解。

Answer 3

（1）、由题意可得b=4 所以函数化为y=kx+4
再代入A点（-4,8）求出解析式
为8=-4k+4 解出k=-1 所以方程为y=-x+4
再代入B点（2，n） n=-2+4 解出n=2
（2）【1】当平移后的直线过C点时，A′C+CB′ 最短，=A′B′
∵直线是平移所得，∴与原直线平行
∴设直线为y=-x+c
又∵直线过C点（-2,0）
∴代入得0=2+C
解得C=-2
所以解析式为y=-x-2