Question

向量a=(x1,y2)平行向量b(x2,y2).有x1y2-x2y1=0.那么可不可以有空间向量a

向量a=(x1,y2)平行向量b(x2,y2).有x1y2-x2y1=0.那么可不可以有空间向量a=(1,2,3)平行b=(-1,y,z)，有1×z-2×y-3×(-1)=0.说明原因？？

Answer 1

1) 非0向量a,b平行,即：a//b 的充要条件是：存在实数λ ≠ 0,使得：a = λb.
设：a=(x1,y1) b=(x2,y2) 且a//b,那么有 λ ≠ 0,使得：a=λb,即
(x1,y1)=λ(x2,y2) -> x1/x2=y1/y2=λ ,所以：x1y2=x2y1 ,即：x1y2-x2y1=0；
2) 非0向量a,b垂直,即：a⊥b：根据向量数量积的公式：
ab = |a| |b| cos (1) 或者
ab = (x1x2+y1y2) (2)
(1)中为a,b向量的夹角,当=90° 或=π/2时,ab=0
再由(2)式,得到：x1x2+y1y2=0 .

Answer 2

不可以
因为若空间向量a=(1,2,3)平行b=(-1,y,z)，
则b=ka，
即-1=k，y=2k，z=3k，也就是y=-2，z=-3，
所以1×z-2×y-3×(-1)=4而不是0。

Answer 3

所谓平行向量，就是永远不相交的矢量，我们看作等效的线形代数的方程组
x1a1+y1a2=0
x2a1+y2a2=0
无定解。那么上面x1,x2,y1,y2是常数，a1,a2是变量，那么有矩阵的行列式=0(因为行列式!=0的时候只有定解(0,0)，这是相交于原点而不是平行)
|x1,y1|
|x2,y2|=0.
所以有了x1y2-x2y1=0。
证毕