Question

初三数学，代数，高手进！！！！！

已知x=[√（n+1）-√n]/[√（n+1）+√n]
y=[√（n+1）+√n]/[√（n+1）-√n]

且19x²+123xy+19y²=1985

试求正整数n

Answer 1

解：∵ n 是正整数
∴ √（n+1）+√n ＞ 0
√（n+1）-√n ＞ 0
∴ x ＞ 0 且 y ＞ 0 则 x + y ＞ 0

又由题意 x与y互为倒数
∴ xy = 1
把xy = 1 代入 19x²+123xy+19y²=1985 得
19x²+123+19y²=1985
∴ 19（x²+ y²）= 1985--123 = 1862
∴ x²+ y² = 1862 ÷ 19 = 98
∴（ x+ y）² -- 2xy = 98
∴ （x+ y）² -- 2 = 98
∴ （x+ y）² = 100
∴ x + y = 10 ------------------ (1) （ -- 10 舍去 ）

而 把 x 和 y 分别进行分母有理化，得
x = ( √n+1 -- √n )² = 2n + 1 -- 2√n(n+1)
y = ( √n+1 + √n )² = 2n + 1 + 2√n(n+1)
∴ x + y = 2(2n+1) ----------------- (2)
由（1）（2）得
2(2n+1) = 10
∴ 2n+1 = 5
∴ n = 2

注：在 解 或 证 根式题目时，通常需要“分母有理化”。它的核心是利用“平方差公式”，达到分母中不带根号。本题中的x，需要分子、分母同乘以（√n+1 -- √n）,
使分母形成“平方差”，分子则变为 （√n+1 -- √n ）² 。 y也亦然。
但愿对您有帮助。

Answer 2

n=2
x和y互为倒数
19x^2=19y^2=1862
x^2+y^2=98
x^2+y^2+2xy=100
(x+y)^2=100
x+y=10
((√n+1-√n)+(√n+1+√n))/（√n+1+√n）(√n+1-√n)
分子完全平方分母平方差
最后算出来（2n+2+2n）/1=10
n=2

Answer 3

xy=1;
19x2+123xy+19y2=19(x+y)^2+85=1985
因为x+y>0，所以
x+y=10
x+y=[√（n+1）-√n]/[√（n+1）+√n]+[√（n+1）+√n]/[√（n+1）-√n]=2(n+1+n)=10
n=2

Answer 4

x,y作分母有理化，x=[√（n+1）-√n]^2,y=[√（n+1）+√n]^2
x+y=4n+2;xy=1
19x²+123xy+19y²=19(x+y)^2+85xy=19(4n+2)^2+85=1985;
即4n+2=10(因x，y均为正整数，故-10舍去)，则n=2