什么是余弦定理？ 10
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广。余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
判定定理一(两根判别法)：
若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取
减号的值。
①若m(c1,c2)=2,则有两解
②若m(c1,c2)=1,则有一解
③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。
注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。
判定定理二(角边判别法)：
一、当a>bsinA时：
①当b>a且cosA>0(即A为锐角)时，则有两解；
②当b>a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)；
③当b=a且cosA>0(即A为锐角)时，则有一解；
④当b=a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)；
⑤当b<a时，则有一解。
二、当a=bsinA时：
①当cosA>0(即A为锐角)时,则有一解；
②当cosA<=0(即A为直角或钝角)时，则有零解(即无解)。
三、当a<bsinA时,则有零解(即无解)。
例如：已知△ABC的三边之比为5：4：3，求最大的内角。
解：设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.
由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角.由余弦定理
cosA=0,
所以∠A=90°.
再如：△ABC中,AB=2,AC=3,∠A=60度,求BC之长.
解：由余弦定理可知,
BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA
=4+9-2×2×3×cos60
=13-12x0.5
=13-6
=7
所以BC=√7.(注：cos60=0.5,可以用计算器算）
以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。
在物理中：
互成角度力的合成：F＝√(F₁²+F₂²+2F₁F₂cosα)（余弦定理）
a^2 = b^2+ c^2 - 2·b·c·cosA
b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB
c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC
cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)
cosB = (a^2 + c^2 -b^2) / (2·a·c)
cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)
（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）
第一余弦定理（任意三角形射影定理） 设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A
余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下两种需求：
当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。
求边
余弦定理公式可变换为以下形式：
因此，如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
