Question

圆锥曲线问题

过N（2，0）的直线L交y²-x²=4于X轴下方两个不同的点AB，设R为AB中点，若过R与定点Q（0，-2）交X轴于D（m,0),求m取值范围

额，我算出的m=(k²+k-1)/2k²，用导数做有点做不下去了啊
请问如果我消得是Y，用X怎么就做不下去了

Answer 1

解：【一】由题意，可设直线L:x=ky+2.(k∈R,且k≠0).与双曲线方程联立得：(k²-1)y²+4ky+8=0.因两点A,B均在直线L上，故可设点A(ka+2,a),B(kb+2,b).又两点A,B均在x轴下方，∴a＜0,且b＜0.∴由韦达定理可知，a+b=-4k/(k²-1)＜0,ab=8/(k²-1)＞0.===>k²-1＞0,且k＞0.===>k＞1.同时⊿=(4k)²-32(k²-1)＞0.===>k²＜2,∴1＜k＜√2.【二】设AB的中点R(x1,y1).则由中点坐标公式可得:2x1=k(a+b)+4=[-4k²/(k²-1)]+4=4/(1-k²).∴x1=2/(1-k²).2y1=a+b=4k/(1-k²).∴y1=2k/(1-k²).∴中点R(2/(1-k²),2k/(1-k²)).【三】因三点R,Q,D共线，∴-2+mk+m(1-k²)=0.===>m(k²-k-1)=-2.===>-2/m=k²-k-1.∵1＜k＜√2.∴-1＜k²-k-1＜1-√2＜0.即-1＜-2/m＜1-√2.===>√2-1＜2/m＜1.===>2＜m＜2+2√2.即m∈(2,2+2√2).

Answer 2

利用直线与曲线的函数式联立得（k²-1）x²-4k²x+4k²-4=0.他们有两个交点即b²-4ac>0，得k²>1/2
然后根据你的m的表达式求导，分k>0和k<0两种情况就可以讨论单调性，继而求出m的范围了