Question

分式函数求最值

y=2x-1/ x+1
y=1-2^x/1+2^x

Answer 1

y=(2x-1)/ (x+1)=(2x+2-3)/(x+1)=2-3/(x+1)

 函数在（-∞，-1）递增，下界是2，当x趋近于负无穷时，函数趋近于2，当x从左边趋近于-1时，函数趋近于正无穷； 函数在（-1，+∞）递增，上界是2，当x趋近于正无穷时，函数趋近于2，当x从右边趋近于-1时，函数趋近于负无穷。但是函数永远取不到最值2.

y=(1-2^x)/(1+2^x)=(2-1-2^x)/(1+2^x)=2/(1+2^x)-1

函数递减，x趋近于负无穷时函数趋近于1，x趋近于正无穷时函数趋近于-1，函数的上界是1，下界是-1，但是永远取不到最大值和最小值。

Answer 2

一、利用导数解决
求导后分母恒非负，分子是二次函数（三次项消掉了），问题就容易解决了
二、不会导数的，可以利用2次方程根的分布来解决，
一般的，形如y=(ax^2+bx+c)/(ex^2+fx+g) 且x∈A，A是R的子集，可将函数化为f(y)x^2+g(y)x+u(y)=o的形式，利用二次方程根的分布，使方程在区间A上至少有一个根即可（要考虑在A上有一个和两个根的两种情况）。

对于特殊的，有简便的方法
1，当a/e=c/g（a和c可以是0，e和g不等于0）时，函数可化为y=[kx/(ax^2+bx+c)]+a/e (其中k=b-f*a/e)的形式，把kx/(ax^2+bx+c)的分子分母同时除以x（如果0∈区间A，先使x不等于0，最后再找回x=0的情况），此时分母变成ax+c/x+b的形式，利用“对钩函数”的性质即可解决问题，
2，当a/e=b/f（a和b可以等于0，e和f不等于0）时，函数可化为y=[m/(ax^2+bx+c)]+a/e (其中m=c-g*a/e)，m/(ax^2+bx+c)的分母是二次函数，问题即可解决。
3，e=0时，将分母换成新元t，分子是关于t的二次函数，分子分母同除以t，变成“对钩函数”加常数的形式，即可解决。