Question

用放缩法证明1+1/4+1/9+~~~1/n^2<2 (n属于正整数）

Answer 1

求和问题的一个常用技巧就是分拆，即把每一项拆成a[n+1]-a[n]的形式，这样和就变成
(-a[1]+a[2])+(-a[2]+a[3])+...+(-a[n]+a[n+1])
=-a[1]+a[2]-a[2]+a[3]-...-a[n]+a[n+1]
=a[n+1]-a[1]。
一个常用的分拆技巧就是1/(n(n-1))=1/(n-1)-1/n，此题的通项1/n²刚好可以放缩成1/(n(n-1))。因此
原式<1+1/(1×2)+...+1/(n(n-1))=1+1-1/2+...+1/(n-1)-1/n=2-1/n<2。

Answer 2

1+1/4+1/9+1/16+…+1/（n-1）^2 =1+1/2^2+1/3^2+…+1/(n-1)^2 <1+1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/[(n-2)(n-1)] =1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+1/(n-2)-1/(n-1) =2-1/(n-1) <2