Question

1^4+2^4+...+n^4 求和公式？

Answer 1

1+2+3+……+n=n(n+1)/2 

1^2+2^2+3^2+...+n^2=?

∵(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1

∴2^3-1^3=3*1^2+3*1+1

(n+1)^3-1^3=3( 1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+4+5+6+.+n)+n

∴n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3n(n+1)/2+n

整理即可得：

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1^3+2^3+3^3+...+n^3=?

∵(n+1)^4-n^4=……

最终得到：1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

1^4+2^4+3^4+...+n^4=(6n^5+15n^4+10n^3-n)/30

一个数的零次方

任何非零数的0次方都等于1。原因如下

通常代表3次方

5的3次方是125，即5×5×5=125

5的2次方是25，即5×5=25

5的1次方是5，即5×1=5

由此可见，n≧0时，将5的（n+1）次方变为5的n次方需除以一个5，所以可定义5的0次方为：

5 ÷ 5 = 1

Answer 2

先做第一步：
1+2+3+……+n=n(n+1)/2 （这个不用证明了吧,应该会!）
第二步：
1^2+2^2+3^2+...+n^2=?
∵(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
∴2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
4^3-3^3=3*3^2+3*3+1
.
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
把以上所有等式相加,可得:
(n+1)^3-1^3=3( 1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+4+5+6+.+n)+n
∴n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3n(n+1)/2+n
整理即可得：
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
第三步：
1^3+2^3+3^3+...+n^3=?
用同样的方式,
∵(n+1)^4-n^4=……
最终得到：1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
第四步,不用说了吧,一样的步骤,能够得到
1^4+2^4+3^4+...+n^4=(6n^5+15n^4+10n^3-n)/30
同理,你可以继续推导5次方、6次方、7次方……

追问

谢谢，这个我也看到了。

Answer 3

n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
.
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2