证明如下：
假设存在有理数解x=p/q，则p、q互素，p、q∈Z
(p/q)^3+p/q+1=0方程两边乘以q^3，得到：
p^3+pq^2+q^3=0
(p+q)(p^2-pq+q^2)=-pq^2
问题在于p+q与p,q互质，于是只有p=±1或q=±1。
很容易证明不可能
一元三次方程求解：
卡尔丹诺法的基本思想是：将x分解为u和v的和（即x=u+v），使一元方程先变为二元方程。然后再添加一个关于u和v的方程，形成二元方程组。这个方程组经过消元后会变成一元二次方程，解这个方程可求出u和v，u和v相加便得到了x。
首先，令x=u+v，代入方程，得到
(u+v)³+p(u+v)+q=0
展开立方项，得
u³+v³+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0
u³+v³+(3uv+p)(u+v)+q=0
现在方程有两个未知数，却只有一个方程，没有办法解。需要添加一个方程，形成方程组之后才能解。
无解。
x^3+x^2-(x^2-x+2)+3=0
x^2(x+1）-（x+1)(x-2）+3=0
（x+1)(x^2-x+2)=-3
x+1为有理数 -3也为有理数
假设方程有有理解，则方程x^2-x+2=0有理解与“方程的德尔塔<0 方程无有理解"矛盾，所以假设不成立，方程无有理解。
可以看出
无理数在位置数字系统中表示不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。例如，数字π的十进制表示从3.141592653589793开始，但没有有限数字的数字可以精确地表示π，也不重复。
必须终止或重复的有理数字的十进制扩展的证据不同于终止或重复的十进制扩展必须是有理数的证据，尽管基本而不冗长，但两种证明都需要一些工作。数学家通常不会把“终止或重复”作为有理数概念的定义。
以上内容参考：百度百科-无理数
应用在这道题里，你只需要令p(x)=X3+X +1，证明p(1)≠0且p(-1)≠0，就能说明这个方程式没有有理数解的了。
顺带一提，这个定理其实算是一个推论了吧，原定理是这么说的：令p(x)=an×x^n+a(n-1)×x^(n-1)+……+a1×x+a0为一个各项系数为整数的关于x的多项式。如果有理数r/s（已化成最简形式，即r跟s互质）是p(x)=0的一个根，则a0是r的倍数，an是s的倍数。
证明方法相当简单，要证an是s的倍数，已知p(r/s)=an×(r/s)^n+a(n-1)×(r/s)^(n-1)+……+a1×(r/s)+a0=0，两边同时乘以s^n，得到0=an×r^n+a(n-1)×r^(n-1)×s+……+a0×s^n。即an×r^n=-s(a(n-1)×r^(n-1)+……+a0×s^(n-1))。由r与s互质，我们得到，an是s的倍数。
证明a0是r的倍数是如法炮制的。
而这个推论就很自然地出来了。如果p(x)的最高次项系数是1，那么如果有解r/s，则s必须是±1，即解变成了±r。那如果没有一个可以整除a0的±r满足p(±r)=0，我们就知道，p(x)=0没有有理数解了。
希望你满意我的答复。
数学证明建立在逻辑之上，但通常会包含自然语言，因此可能会产生一些模棱两可的部分。实际上，若证明的大部分内容用文字形式的数学写成，可以视为非形式逻辑的应用，方程 X^3+X +1=0无有理数解证明如下：
x^3+x^2-(x^2-x+2)+3=0
x^2(x+1）-（x+1)(x-2）+3=0
（x+1)(x^2-x+2)=-3
x+1为有理数 -3也为有理数，假设方程有有理解 则方程x^2-x+2=0有有理解，与“方程的德尔塔<0 方程无有理解"矛盾，所以假设不成立，方程无有理解。
证明要求
证明的对象是命题，命题的本质是断定，断定的性质是明确。明确的解释就是没有歧义。许许多多的数学证明，发生了模糊概念的结果，这个就不能算是完成证明。所以，数学证明要求数学概念精确、专一、系统、稳定，可以检验，可以区分。
推理符合形式逻辑要求。在其他学科，例如物理学中，科学事实很快可以上升到科学定律。但是，数学证明不承认科学事实（所以归纳法无效），必须把事实上的科学概念，经过演绎证明以后，才能算数学定理。
x^2(x+1）-（x+1)(x-2）+3=0
（x+1)(x^2-x+2)=-3
x+1为有理数 -3也为有理数
假设方程有有理解 则方程x^2-x+2=0有有理解
与“方程的德尔塔<0 方程无有理解"矛盾
所以假设不成立 方程无有理解
