Question

高数无穷级数基础题 判断其敛散性

Answer 1

判别方法：
1.收敛
用比较审敛法。设原级数是∑an,构造级数∑bn=∑1/[n^(1.2)]。
∑bn是一个p=1.2的p级数，显然是收敛的。
考察lim {n->无穷大} an/bn
=lim {n->无穷大} [(n^0.5)*(n^1.2)]/(n^4+1)^0.5
=lim {n->无穷大} [(n^3.4)/(n^4+1)]^0.5
=0
由∑bn收敛得到原级数也收敛。
2.发散
用比较审敛法。设原级数是∑an,构造级数∑bn=∑1/n
∑bn是调和级数，显然发散。
考察lim {n->无穷大} an/bn
=lim {n->无穷大} [(n+1)*n]/(n^2+3n-5)
=1
由∑bn发散得到原级数也发散。
×××××××××××××××××××××××
其实这种题如果是填空选择的话，只要“抓大头”就行了。
1.分子最高n^0.5,分母最高n^2,比一下是1/n^1.5。相当于p=1.5的p级数，所以收敛。
2.分子最高n,分母最高n^2，比一下是1/n，相当于调和级数，所以发散。

Answer 2

因为√(n+1)＞√n
所以1/n√(n+1)＜1/n√n=1/n∧3/2
∞
∑ 1/(n∧3/2)为p=3/2的p级数
n=1
所以
∞
∑ 1/(n∧3/2)收敛
n=1
所以原级数收敛

Answer 3

用比较判别法，与1/n比较，望采纳

追问

Un小于1/n怎么判断

追答

分子相同，UN的分母大，所以UN小

追问

Un是小于1/n啊，但1/n小于Un的时候才可以判定其发散吗？

Un是小于1/n啊，但不是1/n小于Un的时候才可以判定其发散吗？

追答

恩，确实。将原式放缩为1/n√n则变为p级数，由于n的指数为3/2所以收敛

望采纳