Question

高等数学常微分方程 求下题中的通解

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Answer 1

∵齐次方程y"-y=0的特征方程是r^2-1=0，则r=±1
∴此起此方程的通解是y=C1e^x+C2e^(-x) (C1,C2是常数)
∵设原方程的解为y=(Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx，代入原方程化简得
(-2Ax-2B+2C)cosx+(-2Cx-2A-2D)sinx=xsinx
==>-2A=0,-2B+2C=0,-2C=1,-2A-2D=0
==>A=D=0,B=C=-1/2
∴y=-(xsinx+cosx)/2是原方程的一个特解
故原方程的通解是y=C1e^x+C2e^(-x)-(xsinx+cosx)/2。

Answer 2

解：∵齐次方程y"-y=0的特征方程是r^2-1=0，则r=±1
∴此起此方程的通解是y=C1e^x+C2e^(-x) (C1,C2是常数)
∵设原方程的解为y=(Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx，代入原方程化简得
(-2Ax-2B+2C)cosx+(-2Cx-2A-2D)sinx=xsinx
==>-2A=0,-2B+2C=0,-2C=1,-2A-2D=0
==>A=D=0,B=C=-1/2
∴y=-(xsinx+cosx)/2是原方程的一个特解
故原方程的通解是y=C1e^x+C2e^(-x)-(xsinx+cosx)/2。

Answer 3

y''-y = xsinx
特征根 r = ±1，
特解形式应设为 y = (ax+b)sinx+(cx+d)cosx
y' = (a-d-cx)sinx+(b+c+ax)cosx
y'' = -(b+2c+ax)sinx+(2a-d-cx)cosx
代入微分方程 得 -2a = 1， b+c=0, c=0, a-d=0
解得 a= -1/2， b=c=0, d= -1/2
特解为 y = -(1/2)(xsinx+cosx)
原微分方程的通解是 y = Ae^x+Be^(-x)-(1/2)(xsinx+cosx)