Question

求lim(x→∞)[x^(1+x)/(1+x)^x-x/e]极限

求lim(x→∞)[x^(1+x)/(1+x)^x-x/e]极限

Answer 1

式子为“0/0”，用洛比达法则（分子分母分别求导）：

lim(x→0)

[(1+x)^(1/x)-e]/x

=lim(x→0)

[(1+x)^(1/x)-e]'/x'

=lim(x→0)

[(1+x)^(1/x)-e]'

=lim(x→0)

=[(1+x)^(1/x)]'

极限思想的思维功能

极限思想在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。

“无限”与’有限‘概念本质不同，但是二者又有联系，“无限”是大脑抽象思维的概念，存在于大脑里。“有限”是客观实际存在的千变万化的事物的“量”的映射，符合客观实际规律的“无限”属于整体，按公理，整体大于局部思维。

Answer 2

x^(1+x)/(1+x)^x= x/(1+1/x)^x
x^(1+x)/(1+x)^x - e/x = x/(1+1/x)^x - x/e
通分后 (ex - x(1+1/x)^x)/(e(1+1/x)^x)
分母趋向于e^2， 所以考虑分子即可， 分子为无穷乘以0，所以转化为:
(e-(1+1/x)^x)/(1/x)变为 0/0形式，所以可以对分子分母求导，其中分母求导后为-1/x^2;
分子求导麻烦些， e是常数项，可以不管， (1+1/x)^x= e^(ln(1+1/x)^x)=e^(xln(1+1/x))
求导后为e^(xln(1+1/x))*(xln(1+1/x))'= (1+1/x)^x * (ln(1+1/x) + x*1/(1+1/x) *(-1/x^2))=(1+1/x)^x *{ln(1+1/x) - 1/(x+1) }， 趋向于0, 同时前半部分的(1+1/x)^x趋向于e，可以先分离出来，所以分子只考虑ln(1+1/x) - 1/(x+1)，是0-0的，还是趋向于0；
所以再对分子分母求导数后分母为 2/x^3， 分子为 1/(1 + 1/x)*(-1/x^2) + 1/(1+x)^2，整理有 1/(1+x)^2-1/(x^2+x)=-1/{x(x+1)^2}
然后将分母的 2/x^3加入后变为 x^3/{2x(x+1)^2}=(x^2/(x+1)^2)/2，所以趋向于1/2
然后再把之前分子的系数(1+1/x)^x=e，以及总的分母e^2加入后得到结果 1/2e.

总的来说需要用两次洛必塔法则得到最终结果， 其间求导比较复杂， 正负号变化也较为麻烦。

Answer 3

解；lim(x→∞)[x^(1+x)/(1+x)^x-x/e]

=lim(x→∞)[x·x^x/(1+x)^x-x/e]

=lim(x→∞)x·[x^x/(1+x)^x-1/e]
=lim(x→∞)x·[1/(1+1/x)^x-1/e]
=0