Question

求高手相助！MATLAB无约束优化问题！

问题描述：广义切比雪夫函数，f(w)=-10*log10(1+e^2*Ck.^2)，其中，e为已知常数：e=1/sqrt(10^2-1)
Ck=cosh(acosh(x1)+acosh(x2)+2*acosh(w))，x1=(w-1/a)./(1-w/a)，x2=(w-1/b)./(1-w/b)
也就是说a和b是给函数加上的2个极值点，w的范围：[0,6]，a和b在1.4和6之间取值，1.4<a<b<6
目标：
求得任意2个a和b的组合下，函数f(w)在区间[a，6]上的最小值
这是其中一种a和b组合下的图像：
看来你对优化还比较在行，就找你了。
我把问题再简化一下：1）f(w)=10*log10(1+e^2*Ck.^2)，把负号去掉。
2）先把a固定住，比如：a=1.301，比端点1.3稍大一点，先求b右面的函数最小值
等于40的点对应的b值。
3）此时，再固定住b点，让a变化，求[a，b]之间函数的最小值等于40的点对应
的a值。
4）实际上，就是找到[a,b]间的函数最小值和[b,6]间的函数最小值，且2个最小值
都要大于40
5）加上3个极值点的情况：f(w)=10*log10(1+e^2*Ck.^2)
Ck=cosh(acosh(x1)+acosh(x2)+acosh(x3)+2*acosh(w))，x1=(w-1/a)./(1-w/a)，x2=(w-1/b)./(1-w/b)，x3=(w-1/c)./(1-w/c)

Answer 1

题主给的图像是反的吧（差了个负号）？
因为有这个符号错误，不能不确认一下：到底求最大值还是最小值？
需要注意：对于w=a或w=b两处极值点，函数值为无穷大或非数（NaN），无法求最小值（对应题主画的图而言是最大值）。
另外，这并不是无约束优化问题，不是还有约束条件【1.4<a<b<6】吗？

追问

谢谢！图像是反了，加负号表示衰减，求最小值即可
不加负号表示抑制，求最大值。

追答

我的想法不一定正确，提出来供参考：

1、就整个优化问题而言，是应该把a和b当成变量的，而对于优化过程的每一次迭代而言，a和b就是常数，此时是以w为变量来求最大（或最小）值。

2、我有点晕。。。有负号的情况下，w=a和w=b处有两个负无穷的极小值，这种情况怎么求最小值？能不能就具体的例子在图中标一下，你所说的【函数f(w)在区间[a，6]上的最小值】到底是指哪个点？

3、足够函数还有【极值点变为3个以上】的情况吗？我对这个函数不熟悉，究竟存在什么样的可能我还真不清楚。

追问

字数限制，我把问题描述放到问题补充里了，谢谢！

追答

也许是我的理解能力有问题，不过，总体感觉你的描述好像还是有点乱。

1、之前说的是【a和b在1.4和6之间取值】，现在又说【a=1.301，比端点1.3稍大一点】，虽然这只是一个数而已，本质上可能也没有太大区别，但前后不一很容易造成困惑。

2、总结你补充的第2~4步，大致过程是：先固定a，求b，使得w在[b,6]区间的函数最小值于40；再固定b，求a，使得w在[a，b]区间的函数最小值等于40。我的疑问是，后面的一步，在a变化时，能保证[b,6]间的函数最小值大于或等于40吗？

3、既然是优化问题，应该有目标函数吧？我没看明白，这个问题的目标函数是什么？现在我所理解的，只是要确定a和b，使得【[a,b]间的函数最小值和[b,6]间的函数最小值都要大于40】？如果有满足这个条件的a、b（也就是说存在可行解），相信应该不会是唯一的值，那么，根据什么规则再进一步确定最优解呢？

4、之前所说的3个极值点，原来是额外又增加了一个极值点c。不过，好像和现在的这个问题没有太大直接关系吧？

追问

你说得很对，就是没有目标函数，我是在验证别人的算法
其实，我认为既然没有目标函数，那就只能靠优化了：如果能够找到
一组a和b的组合，满足[a，b]间的最小值和[b，6]间的最小值同时等于40
那问题应该就解决了，但我不确定的是：这样的a和b的组合是不是唯一的？
另外，经验证明：b固定时，移动a只会使右面的最小值变大，不会变小。

追答

优化必需有目标函数才行，如果问题本身没直接给目标函数，那就应该根据需要自己定义一个。例如，你要求的是【[a，b]间的最小值和[b，6]间的最小值同时等于40】，那就不妨把这两个区间最小值求出来，然后以这两个最小值与40之差的平方和为目标函数。当然，如果你的本意并非如此，那也应该根据实际情况修改目标函数。

 

受字数限制，把我写的优化代码作为附件上传。

 

这样得到的一组解为 a=1.5335,b=2.1904。至于这样的组合是不是唯一的，那就很难说了，愿意的话可以多尝试几种初值，或者改用其它优化算法看看能不能得到其它的解。

 

优化过程如下图所示（红线代表a，绿线代表b）：