Question

怎么证明平行四边形对角线与相邻边长度关系

Answer 1

方法一:

设平行四边形ABCD,对角线AC,BD

则AC²+BD²=2(AB²+AD²)

在三角形ABC中,由余弦定理有

AB²+BC²-2*AB*BC*cosB=AC²

同理,在三角形ABD中

AB²+AD²-2*AB*AD*cosA=BD²

两式相加得,并注意到BC=AD

2AB²+2AD²-2*AB*AD(cosB+cosA)=AC²+BD²

因为A与B互补,所以cosA+cosB=0

所以有2(AB²+AD²)=AC²+BD²

即AC²+BD²=2(AB²+AD²)

方法二:

设平行四边形为ABCD,对角线的交点是O

AB=DC,AD=BC

AB^2+AD^2+DC^2+BC^2=2AB^2+2BC^2=2(AO+OB)^2+2(BO+OC)^2=2AO^2+4AO*OB+2OB^2+2BO^2+2BO*OC+OC^2=2[AO^2+2AO*OB+BO^2+BO^2+2BO*OC+OC^2]=2[2AO^2+2(AO+OC)*OB+2BO^2]=2[AC^2/2+AC*DB+BD^2/2]=AC^2+2AC*DB+BD^2=(AC+BD)^2

平行四边形两对角线的和平方等于平行四边形四边的平方和.

Answer 2

你好
证明过程
设平行四边形ABCD,对角线AC,BD
则AC²+BD²=2(AB²+AD²)
在三角形ABC中,由余弦定理有
AB²+BC²-2*AB*BC*cosB=AC²
同理,在三角形ABD中
AB²+AD²-2*AB*AD*cosA=BD²
两式相加得,并注意到BC=AD
2AB²+2AD²-2*AB*AD(cosB+cosA)=AC²+BD²
因为A与B互补,所以cosA+cosB=0
所以有2(AB²+AD²)=AC²+BD²
即AC²+BD²=2(AB²+AD²)

Answer 3

方法一:

设平行四边形ABCD,对角线AC,BD

则AC²+BD²=2(AB²+AD²)

在三角形ABC中,由余弦定理有

AB²+BC²-2*AB*BC*cosB=AC²

同理,在三角形ABD中

AB²+AD²-2*AB*AD*cosA=BD²

两式相加得,并注意到BC=AD

2AB²+2AD²-2*AB*AD(cosB+cosA)=AC²+BD²

因为A与B互补,所以cosA+cosB=0

所以有2(AB²+AD²)=AC²+BD²

即AC²+BD²=2(AB²+AD²)

方法二:

设平行四边形为ABCD,对角线的交点是O

AB=DC,AD=BC

AB^2+AD^2+DC^2+BC^2=2AB^2+2BC^2=2(AO+OB)^2+2(BO+OC)^2=2AO^2+4AO*OB+2OB^2+2BO^2+2BO*OC+OC^2=2[AO^2+2AO*OB+BO^2+BO^2+2BO*OC+OC^2]=2[2AO^2+2(AO+OC)*OB+2BO^2]=2[AC^2/2+AC*DB+BD^2/2]=AC^2+2AC*DB+BD^2=(AC+BD)^2

平行四边形两对角线的和平方等于平行四边形四边的平方和.

扩展知识：
平行四边形对角线怎么求

如果已知平行四边形两邻边长和对角线与其中一边的夹角，求其对角线的长。可先用正弦定理求出对角线与其中另一边的夹角，再根据三角形内角和定理求出两邻边的夹角，然后再用正弦定理（或余弦定理）求出对角线。

平行四边形对角线怎么求

(1)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

(简述为“平行四边形的两组对边分别相等”)

(2)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

(简述为“平行四边形的两组对角分别相等”)

(3)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。

(简述为“平行四边形的邻角互补”)

(4)夹在两条平行线间的平行的高相等。(简述为“平行线间的高距离处处相等”)

(5)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

(简述为“平行四边形的对角线互相平分” )

(6)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。

(7)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形。)

(8)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

(9)平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.

(10)平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形是轴对称图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。