Question

设函数f(x)=x2+x-1/4。若定义域[a,a+1]时，f(x)的值域为[-1/2,1/16],求a的值

Answer 1

通过配方f(x) = (x + 1/2)^2 - 1/2
由f(x)值域知，f(x)最小值为 -1/2 ，此时 x = - 1/2
令f(x) = 1/16 ，(x+1/2)^ = 1/2 + 1/16 = 9/16
则 x+1/2 = 3/4 或 -3/4
即 x = 1/4 或 -5/4
综上，由对称性x的定义域为 [-5/4, 1/4]时 -1/2 <= f(x) <=1/16
所以，当a = -5/4时，定义域为[-5/4, -1/4] x=-1/2在此区间内满足题意
当a = 1/4 - 1 = -3/4时，定义域为[-3/4, 1/4] x= -1/2在此区间内满足题意
所以，a = -5/4 或 -3/4

Answer 2

解：
f(x)=x^2+x-1/4=(x+1/2)^2-1/2
当x=-1/2时，f(x)=-1/2
当x=1/4或x=-5/4时，f(x)=1/16
f(x)值域为[-1/2,1/16]
x可以取-1/2，-1/2在定义域[a,a+1]上。
至于最大值，当x=a或x=a+1时取到。
令f(a)=a^2+a-1/4=1/16，解得a=1/4或a=-5/4，此时a+1=5/4或a+1=-1/4
f(a+1)=41/16(>1/16，舍去）或f(a+1)=-7/16
令f(a+1)=(a+1)^2+(a+1)-1/4=1/16，解得a+1=1/4或a+1=-5/4，此时a=-3/4或a=-9/4
f(a)=-7/16或f(a)=41/16(>1/16，舍去)
综上，得a=-3/4或a=-5/4

Answer 3

f(x)=x2+x-1/4?