Question

多元函数可微分条件

RT

Answer 1

一、教学目的：掌握多元函数偏导数，理解全微分的概念及其意义，熟练掌握求偏导数的运

算，掌握全微分与偏导数的联系。

二、教学内容：多元函数偏导数，可微性与全微分的定义；可微的必要条件与充分条件．

(1) 基本要求：掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，熟记可微的必要条件与充分条件．

(2) 较高要求：切平面存在定理的证明．

四、教材重点：本节的重点是全微分，偏导数的概念及其运算。难点是讨论二元函数的可微性。

五、教学建议：

(1)本节的重点是多元函数偏导数，可微性与全微分的定义．

(2) 通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数与可微这三个分析性质之间的关系．

教学过程：

一．可微性与全微分

定义1：设函数 在 的某邻域 中有定义， 为 中的点。若存在仅与 有关的常数A与B ，使 在 的全增量为：

称 在 可微。称 为 在 的全微分，记作

= 。

说明：（1） 的线性主部；（2） ；（3） 在 可微，则有 。

例1.讨论 在 的可微性。

解: 在点 处函数f的全增量为

由于

因此 ．从而函数f在 可微，且

二．偏导数

1、定义2 设 在 上有定义， ∈ 。 的某邻域内有定义。若 存在，称极限值为 在 关于 的偏导数，记作 。同样可定义 在 关于 的偏导数 。

说明：（1）偏导数的概念可推广到 元函数，如

（2）若 在区域 上每一点都有对 （或 ）的偏导数，则得到 在 上对 （或 ）的偏导函数，记作 。

2．偏导函数的几何意义： 表示曲线 的切线对 轴的斜率。

由偏导数的定义，求 对自变量 的偏导数，先把其余自变量看作常数，从而变成一元函数的求导问题。因此一元函数的求导法则，对多元函数求偏导数仍然适用。

例2.设 。

解: 先求f在点（1，3）关于χ的偏导数，为此，令y=3,得到以χ为自变量的函数f(χ,3)= χ3+6χ2-27，求它在χ=1的导数，即

fχ（1，3）=
再求f在（1，3）关于y的偏导数，先令χ=1,得到以y为自变量的函数f(1,y)=1+2y-y3，求它在y=3的导数，得

Fχ（1，3）=
通常也可分别先求出f关于χ和y的偏导函数：

Fχ（χ，y）=3χ2+4χy

Fy（χ，y）=2χ2-3y2

然后以（χ，y）=（1，3）代入，也能得到同样结果。

例3.设 。

解:

例4.求三元函数 的偏导数。

解: 把 y和z看作常数，得

把χ，z看作常数，得

把χ，z看作常数，得

三．可微性条件

1．可微的必要条件

（1）由可微的定义易知，若 在 可微，则 在 必连续。

（2）若 在 可微，则 对 ， 的偏导数必存在。

定理17.1 若二元函数 在 可微，则 必存在，且

。

证：由可微的定义及偏导数的定义可得。

又 。

若 在区域 上每一点都可微，称 在 上可微，且 。

2．可微的充分条件

定理17.2 设 在 的某邻域 中存在偏导数，且 在 连续，则 在 可微。

证：取 ，则应用一元函数的拉格朗日中值定理可知

=
又， 在 连续，因此

所以， ，即 在 可微。

由定理2的证明过程可知下述结论成：

3．定理17.3 设 在 的某邻域 中存在偏导数。 ∈ ，则存在

。使

。

四．可微的几何意义与应用

1．曲面的切平面与法线

定义：设 为曲面 上一点，∏为过 的平面。 上动点 到 及∏的距离分别为

。若 在 上以任意方式趋于 时，恒有 ，则称∏为 在 的切平面。

一般 在 不一定有切平面。如，曲面 在点（0，0）无切平面。如何

判断 在 有切平面？若有切平面，如何求？

定理17.4 曲面 ： 在 存在不平行 轴的切平面的充要条件是： 在 可微。

称 为曲面： 在 的法向量。

若 在 可微，曲面在 的切平面是：

∏： 。

过 与∏垂直的直线叫曲面在 的法线，法线方程为： 。

例1.求抛物面 的切平面与法线。

解: 因为

由公式，过M的切平面方程为

因为

过M的法线方程为

2．全微分在近似计算中的应用

由全微分定义的说明知，有下列近似计算公式：

。

例2.求 的近似值。

解
由公式有：

例3.证明在（0，0）充分小邻域内， 。

Answer 2

复变函数上讲过的，好像是关于各个元的偏导有某种相等关系…时间太久了记不清了…希望能有所帮助