Question

12题，解析

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Answer 1

解：设P(a,e^a)，Q(b,1-1/b)，b>0
要使|PQ|最小，显然需P点的斜率与Q点的斜率相等（即P点切线和Q点切线平行），且直线PQ的斜率与切线斜率乘积等于-1（即直线PQ垂直于切线）。于是有方程组：
e^a=1/b² ①
[(1-1/b-e^a)/(b-a)]*[1/b²]=-1 ②
由①得a=-2lnb，代入②得
[(1-1/b-1/b²)/(b+2lnb)]*[1/b²]=-1
也即：
b+2lnb=(1/b²+1/b-1)*1/b²
b+2lnb=(1+b-b²)/b^4
b+2lnb=[5/4-(b-1/2)²]/b^4
左边随b的增大而增大；右边：
当b>1/2时，随b的增大而减小，则b>1/2时至多有一个根。此时b=1满足前述方程，故此时有唯一根b=2，进而a=0，得|PQ|=√2；
当0<b≤1/2时，左边b+2lnb≤1/2+2ln(1/2)=1/2-ln4<1/2-lne=-1/2<0，右边>0，显然没有解。
综上知本题选D。

Answer 2

过程：