为什么实对称矩阵一定可以对角化
原因：实对称阵的特征值都是实数，所以n阶阵在实数域中就有n个特征值（包括重数），并且实对称阵的每个特征值的重数和属于它的无关的特征向量的个数是一样的，从而n阶矩阵共有n个无关特征向量，所以可对角化。
判断一个矩阵是否可对角化：
先求特征值,如果没有相重的特征值,一定可对角化。
如果有相重的特征值λk,其重数为k,那么你通过解方程（λkE-A）X=0得到的基础解系中的解向量若也为k个,则A可对角化,若小于k,则A不可对角化。
扩展资料：
实对称矩阵的主要性质：
1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。
2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
3、n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
4、若λ0具有k重特征值 必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。
参考资料来源：百度百科--实对称矩阵
判断一个矩阵是否可对角化：
先求特征值,如果没有相重的特征值,一定可对角化。
如果有相重的特征值λk,其重数为k,那么你通过解方程（λkE-A）X=0得到的基础解系中的解向量若也为k个,则A可对角化,若小于k,则A不可对角化。
不需要！不需要！不需要！这个证明不需要《矩阵论》。不需要！不需要！不需要！
我看竟然还有答主把《矩阵论》搬出来了。
若能证明下列命题，你的问题便也立即得到解决了。
设A是一个n阶实对称矩阵，那么可以找到n阶正交矩阵T，使得（T的逆阵）AT为对角矩阵。
证明需要正交矩阵的相关知识，我写了出来。
证明：当n=1时结论显然成立。现在证明若对n-1阶实对称矩阵成立，则 对n阶实对称矩阵也成立。设シ是A的一个特征值（n阶矩阵一定有n个特征值（计数重复的）），设α是A 的一个特征向量（α是列向量）。（（α的转置）*A）的转置=Aα=シα。因为特征向量的非零倍数仍然是特征向量，所以只要把α的每一个元都除以イ，其中イ的平方=（α的转置）*α，就使得α为单位向量（所谓单位向量就是（α的转置）*α=1）。显然所有的单位向量有无数个，且显然可以找到足够多的列单位向量，使得他们与α的内积为0且他们两两内积等于0，因为正交矩阵的充要条件是列（行）向量两两正交且都是单位向量，又因为对方阵而言若AB=E则BA=E，故可以 以α为第一列人工写出一个正交矩阵Q，（所谓正交矩阵就是（Q的转置）*Q=Q*(Q的转置)=E）。由（（α的转置）*A）的转置=Aα=シα 得（Q的转置）A的第一行是（シα）的转置，于是 （Q的转置）AQ的第1行第1列处是シ（α的转置）α= シ，还可以推出（Q的转置）AQ的第一列除了第一行以外都是0（至于这是为啥实在不方便打字，读者可以自己算一下，提示一下 设t是T是元，tij*t+t..*t..+t..*t..+t..*t..时若每一项的角标都不完全一样，那么这些加起来就是0）。因为Q是正交矩阵，（（Q的逆阵）AQ）的转置=（Q的转置）（A的转置）（Q的逆阵的转置）=（Q的逆阵）AQ，所以（Q的逆阵）AQ也是对称矩阵，所以它第一行除了第一列以外也都是0，而除了第一行第一列剩下的一大块矩阵还是一个对称矩阵，所以最后可以反复进行这个过程整成对角矩阵。证毕
然而正交矩阵一定是可逆矩阵，对方阵而言可逆等价于满秩，乘以一个方阵满秩方阵以后秩不变，这就证明了你的
（一） 如果这个定理满足，实对称矩阵显然是正规矩阵，且其特征值一定为实数，那么其相似于对角矩阵，所以一定可以对角化
（二） 在证明这个定理前，你需要认同一下定理
设 A∈R（nxn） ，且 的特征值都是实数A，则存在正交矩阵 P，使 P^(-1)AP 为上三角矩阵
（三）必要性证明
设 P为一正交矩阵，可以将 A对角化
则 A=P*γ*PT γ为对角阵
则 AT=PT*γ*P
则AT*A=A*AT
（四）充分性证明
设 为一正交矩阵P，可以将A 上三角化为矩阵PT*A*P=B
又根据 A为正规矩阵的性质有 BT*B=PT*AT*P*PT*A*P=PT*AT*A*P=PT*A*AT*P=B*BT
B是一个上三角矩阵，只需要比较BT*B=B*BT对角线上的元素，你就会发现矩阵 B是个对角矩阵，得证.
参考资料：
链接：https://www.zhihu.com/question/38801697/answer/249465919
