Question

数学分析 证明极限 我要思路

Answer 1

之前那题看错题了，抱歉，我已经追答了，详细过程思路可以看那边的。有问题欢迎追问。

Answer 2

找本教材，把Stolz定理搞懂就行了

追问

不好意思，我现在刚开始学数分，要用ε-N语言证明

追答

纠正一下，之前我把条件结论看反了，这题不能直接用Stolz定理，至少需要一些转化

（不过话说回来，Stolz定理的证明也是从定义出发的，你有必要认真看一遍，学习一下相关技术。另外，如果条件和结论颠倒一下，则不需要单调性。）

证明已经有人给你写了，我再教你点别的技术

首先应该看到条件和结论都是线性的，只需要考虑a=0的情况
（令b_n=a_n-a即转化为a=0的情况）
然后可以不妨设a_n递增
（递减的情况只需对c_n=-a_n讨论）
这些准备工作不管是否有用，做一下至少没坏处，证明极限为0也比证明其它极限要相对容易一些，在不等式缩放的时候需要顾忌的东西比较少
（这题a=0帮助不大，不过别的地方会有用）

另外，如果记A_n为a_n前n项的平均值，那么a_n>=A_n
由a_n单调增容易推出A_n单调增(A_{n+1}=[nA_n+a_{n+1}]/(n+1)>=A_n)
用反证法验证一下a_n不能大于零

然后由A_n<=a_n<=0可得|a_n-0|<=|A_n-0|，这样用定义或者夹逼性质都可以了

Answer 3

郭敦顒回答：
设{ an }为等差数列，首项a1为常数，公差d＞0为常数，
∵n→∞lim（a1+ a2+…+an）/n=a
（a1+ a2+…+an）/n=Sn/n=n（a1+an）/（2n）=（a1+an）/2，
∵an=a1+（n－1）d，
∵n→∞，∴（n－1）d→∞，
（a1+an）/2→∞，
an→∞，（a1+an）/2→an，an/2与an为等价无穷大。
∴n→∞liman=a。

Answer 4

啊，我以前做过一个类似的问题，供参考：
http://zhidao.baidu.com/question/362575394976325732
我的回答的好处就是解释了为什么必须单调，不单调不行。

看了另外3位大神的回答，对我启发很大，所以一定要在此留个言。
zhangsonglin_c 、玄色龙眼 、电灯剑客 的方法都是正确，并且非常精彩的。
我个人的做法（上面链接中）与 电灯剑客 的标准做法最像。

BTW：网友采纳的做法是错的，应该是不小心看走眼了。

Answer 5

假设是单调递增数列，an<a(n+1),
此时，可以知道，任意一项an<a,否则，从某一项开始，各项都大于a，足够多的项之后，分子的和可以大于na。

根据极限定义，对于任意小的正数ε，存在N，使得当n>N，有
-ε<（a1+a2+...+an)/n-a<ε
a-ε<（a1+a2+...+an)/n<a+ε
n(a-ε)<a1+a2+...+an<n(a+ε)
na-nε<a1+a2+...+an<na+nε
乘（-1）
-na-nε<-a1-a2-...-an<-na+nε
加na
-nε<（a-a1）+(a-a2)+...+(a-an)<nε
0<（a-a1）+(a-a2)+...+(a-an)<nε
中间每一项都是正数，其中a-an最小，因此：
0<n(a-an)<（a-a1）+(a-a2)+...+(a-an)<nε
0<n(a-an)<nε
除以n
0<a-an<ε
根据极限定义，an的极限是a。
如果{an}是单调递减数列，证明类似。